解いてみた
via:ねたミシュラン
解いてみる。
かなり力業な解き方（≒総当たり）でチャレンジ。
まずは千の位から。
計算結果より２００８より小さい数である事が必要。
従って千の位は１か２である。
しかし、各桁同じ数字は一度しか使えないので２を頭に選んだ場合、最小の数が２０１３となるため不適。
つまり千の位は１。
計算式は以下の様になる。
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千の位が確定しているのでこれは以下の様に書き換え可能。
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次に一の位を見る。
３数の合計が８か１８であることが要件となる。
ここから、それぞれの場合で場合分けして考える。
※１は使えないことに留意しながら進める。
i)８になる３数の組み合わせは（０，３，５）のみ。
この場合十の位の３数の合計は１０か２０であることが要件となる。
使えるのは（２，４，６，７，８，９）
最小の組み合わせでも１０を超えるので２０であることになる。
その組み合わせは（４，７，９）一通り。
百の位は合計８となる為（２，６）一通り。
つまり使わないのは８。
完成した計算式は以下（一例）。
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一応答えは出てるが、一様であるとの記載も無いので別解がないか確認
ii)１８になる３数の組み合わせは（２，７，９）…a、（３，６，９）…b、（３，７，８）…c、（４，５，９）…dの４通り。
この場合十の位は３数の合計が９か１９であることが要件となる。
９である場合は百の位は２数の合計が９であることが要件、１９である場合には９である事が要件となる。
つまり、使っていない６つの数で３数の合計が９（１９）、２数の合計が９（８）である組み合わせを作ることができるかを確認すれば良い。
aの場合、残りは（０，３，４，５，６，８）であり、（０，３，６）、（４，５）若しくは（０，４，５）、（３，６）の組み合わせで成立、使わない数は８。
bの場合、残りは（０，２，４，５，７，８）であり、（０，４，５）、（２，７）若しくは（０，２，７）、（４，５）の組み合わせで成立、使わない数はやはり８。
cの場合、残りは（０，２，４，５，６，９）であり不適。
dの場合、残りは（０，２，３，６，７，８）であり、（０，２，７）、（３，６）若しくは（０，３，６）、（２，７）の組み合わせで成立、使わない数はここでも８。
ってことで別解はあるものの、やっぱり８は使わない。
で、今度は数学らしく解いてみよう。
□を代数に置き換える。
Ａ〜Ｊまでの代数を使う。
対応は以下の様にする。
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Ｊは使わない数。
条件を整理して式に書くと次の様になる。
Ａ≠Ｂ≠Ｃ≠Ｄ≠Ｅ≠Ｆ≠Ｇ≠Ｈ≠Ｉ≠Ｊ
０≦Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ≦９
（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊは整数）
１０００Ａ＋１００（Ｂ＋Ｃ）＋１０（Ｄ＋Ｅ＋Ｆ）＋Ｇ＋Ｈ＋Ｉ＝２００８…a
aの式を以下のように変換する。
９９９Ａ＋９９（Ｂ＋Ｃ）＋９（Ｄ＋Ｅ＋Ｆ）＋Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＋Ｉ＝２００８
ここでＡ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＋Ｉ＝４５−Ｊ。
９｛１１１Ａ＋１１（Ｂ＋Ｃ）＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ｝＝２００８−４５＋Ｊ
つまり１９６３＋Ｊが９の倍数となることが条件。
１９６３＋Ｊが９の倍数であることと、１＋９＋６＋３＋Ｊが９の倍数であることは同値である*1
つまり１９＋Ｊが９の倍数であることであり、１０＋Ｊが９の倍数であり、１＋Ｊが９の倍数であることが条件。
ここで、Ｊ≦９なので１＋Ｊ＝９、つまりＪ＝８が答え。
完全に数学的に解いた方が手っ取り早いです。
*1:１０００Ｘ＋１００Ｙ＋１０Ｚ＋Ｕ＋Ｖ＝９（１１１Ｘ＋１１Ｙ＋Ｚ）＋Ｘ＋Ｙ＋Ｚ＋Ｕ＋Ｖ
